求证:方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.

求证:方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.

题目
求证:方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.
答案
证明:设f(x)=5x2-7x-1,
f(−1)>0
f(0)<0
f(1)<0
f(2)>0

5+7−1>0
−1<0
5−7−1<0
20−14−1>0

且y=f(x)的图象在(-1,0)和(1,2)上是连续不断的曲线,
∴方程的根在(-1,0)上,另一个根在(1,2)上.
根据方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上,转化为f(x)=5x2-7x-1的图象有x轴在(-1,0)上和(1,2)上各有一个交点,根据零点判定定理即可得到
f(−1)>0
f(0)<0
f(1)<0
f(2)>0
,而此不等式组显然成立,故可证明结论正确.

函数的零点与方程根的关系.

此题是基础题.考查函数的零点与方程的根的关系.体现了数形结合和转化的思想,同时考查了学生的分析能力和计算能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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