已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.
题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.
问:{an}中是否存在三项成等差数列?若存在,请求出一组;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意知an=1/2(3n+Sn)对一切正整数n恒成立,又当n=1时,s1=a1.
所以a1=1/2(3+a1),所以a1=3
(2)证明:由题意知an=1/2(3n+Sn)对一切正整数n恒成立,
即2an=3n+Sn ……①对一切正整数n恒成立.
所以2a(n+1)=3(n+1)+s(n+1)……②
②-①得:2a(n+1)-2an=3+s(n+1)-Sn ,所以2a(n+1)-2an=3-a(n+1)所以3a(n+1)-2an=3
即[a(n+1)+3]=2∕3(an+3),
又a1+3=4>0,所以a2+3=2∕3(a1+3)>0,由此类推an+3>0
所以[a(n+1)+3]/(an+3)=2∕3,
所以数列{an+3}是以a1+3=4为首项,以2∕3为公比的等比数列.
假设数列{an}中存在这样的三项满足其条件,且这三项分别为数列{an}的第x,y,z项.
由(2)知数列{an+3}是以a1+3=4为首项,以2∕3为公比的等比数列.
所以an+3=4*(2/3)^(n-1),即an=4*(2/3)^(n-1)-3 (n∈N+)
又ax,ay,az构成等差数列,所以2ay=ax+az
化简后得:2*(2/3)^y-=(2/3)^x+(2/3)^Z > 0
两边同时取2/3为底的对数得 ㏒2/3 2 + y = x + z ,所以x+z-y=㏒2/3 2
(注明:㏒2/3 2表示以2/3为底数,以2为真数的对数)
又x、y、z都是整数,所以x+z-y也是整数,而显然㏒2/3 2不是整数,这与x+z-y=㏒2/3 2是矛盾的.所以这样的x、y、z是不存在的.
即数列{an}中不存在有三项,使它们可以构成等差数列.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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