怎样证明矩阵的无穷范数小于等于根号n乘以该矩阵的二范数?

题目

怎样证明矩阵的无穷范数小于等于根号n乘以该矩阵的二范数?

答案

无穷范数即最大行和
比如说A的第k行取到无穷范数,即||A||_oo=|a_{k1}|+|a_{k2}|+...+|a_{kn}|
由平均值不等式得到
|a_{k1}|+|a_{k2}|+...+|a_{kn}| <= sqrt(n) sqrt(|a_{k1}|^2+|a_{k2}|^2+...+|a_{kn}|^2)
而sqrt(|a_{k1}|^2+|a_{k2}|^2+...+|a_{kn}|^2)可以看成A的一个子矩阵的2-范数,当然是不超过||A||_2的