好简单的微分方程

题目

好简单的微分方程
ky*x^-2—2ky’*x^-3=1(k是常数),求y

答案

先除-2kx^-3
y'+(-x/2)y=(-1/2k)x^3
积分因子
I=e^∫(-x/2)dx=e^(-x^2/4)
两边同乘I
由积分因子定义
(Iy)'=(-1/2k)x^3 e^(-x^2/4)
d(Iy)=(-1/2k)x^3 e^(-x^2/4) dx
两边积分
Iy=(-1/2k)∫x^3 e^(-x^2/4) dx
令t=x^2/4,dt=xdx/2
Iy=(-1/2k)∫4t*2dte^(-t)
e^(-x^2/4) *y=(-4/k)∫te^(-t)dt=4/k(t+1)e^(-t)+C
y=(4/k)(t+1)+Ce^(x^2/4),C是待定常数
=(4/k)(x^2/4 +1)+Ce^(x^2/4)