已知函数f(x)=ax^3+bx²,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
题目
已知函数f(x)=ax^3+bx²,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
已知函数f(x)=ax^3+bx²,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值,并求f(x)的单调区间;
(2)若函数在区间【m-1,m]上单调递减,求实数m的取值范围.
答案
1、f'(x)=3ax²+2bx,因点(-1,2)在曲线上,得:
f(-1)=2 ===>>> -a+b=2 ------------------------------------(*)
又:f(x)在点x=-1处的切线斜率k=f'(-1)=3a-2b=-3 ----------------(**)
解上述方程组,得:a=1,b=3
则:f(x)=x³+3x²
f'(x)=3x²+6x=3x(x+2),则:
f(x)在(-∞,-2)上递增,在(-2,0)上递减,在(0,+∞)上递增.
2、若f(x)在[m-1,m]上递减,则:
-2≤m-1解得:-1≤m≤0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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