求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx

题目

求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx

答案

用三角代换可证明以下二不定积分公式：
∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]+C,
∫dx/√(x^2+a^2)=ln(x+√(x^2+a^2)+C,
原式=∫（x^2+x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2)∫(x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2)）∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√(x^2+x+1)dx-(1/2)∫(d(x^2+x+1)/√(x^2+x+1)-（1/2）∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√[(x+1/2)^2+3/4]d(x+1/2)-(1/2)(x^2+x+1)^(-1/2+1)/（-1/2+1）-∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+3/4]
=(1/2)*（x+1/2）√（x^2+x+1)+（3/8）ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)-（1/2）ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]+C
=（1/2）*（x+1/2）√（x^2+x+1)-（1/8）ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)+C.