设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1)

题目

设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1)
证明:一定存在x0∈[0,1/2],使得f(x0)=f(x0+1/2)

答案

设F(x)=f(x)-f(x+1/2),则：F(1/2)=f(1/2)-f(1)；F(0)=f(0)-f(1/2),所以F(1/2)+F(0)=0,可知F(1/2)和F(0)异号,由连续函数的零点存在定理知：必存在x0∈[0,1/2],使得F(x0)=0,即f(x0)=f(x0+1/2)
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