已知a,b,c,d使得方程（x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)对一切实数x均成立,那么当代数式a*a+b*b+c*c+d*d+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10娶到最小值时,a+b+

题目

已知a,b,c,d使得方程（x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)对一切实数x均成立,那么当代数式a*a+b*b+c*c+d*d+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10娶到最小值时,a+b+c+d的值为多少?

答案

由方程（x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)对一切实数x均成立知,方程两边有关x的系数相等,且常数项也相等.即：b-a=c+d.①
ab+cd=-24.②
由②知a*a+b*b+c*c+d*d+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10=a*a+b*b+c*c+d*d-4a-4b+8c+8d-14
=(a+b)^2+(c+d)^2-2(ab+cd)-4(a+b)+8(c+d)-14
=(a+b)^2+(c+d)^2)-4(a+b)+8(c+d)+34
=(a+b+2)^2+(c+d+4)^2+14
显然当a+b+2=0且c+d+4=0同时成立时上式能去最小值,联立①②式可解的b=-1
由①得a+b+c+d=2b=-2