已知直线y=kx+2和曲线x²+4y²=4交于A、B两点.

题目

已知直线y=kx+2和曲线x²+4y²=4交于A、B两点.
(1)求k的取值范围
(2)若|AB|=(4√2)/5,求实数k的值
(3)若线段AB的中点M在直线2x+y-1=0上,求实数k的值

答案

将y=kx+2代入曲线x²+4y²=4,可得：
x²+4(kx+2)²=4,即(1+4k²)x²+16kx+12=0
方程有两个不同的根,则16*16k²-4(1+4k²)12>0
64k²-48>0
k²>3/4
所以k√3/2
x1+x2=-b/a= - 16k/(1+4k²) x1*x2=c/a=12/(1+4k²)
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=16*(4k²-3)/(1+4k²)²
y=kx+2,所以y1-y2=k(x1-x2)
所以（y1-y2)²=k²(x1-x2)²
|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(1+k²)*16*(4k²-3)/(1+4k²)²=32/25
令m=k²,可得方程：
68m²+9m-77=0
(68m+77)(m-1)=0
因为m=k²>=0,所以m=1
即k²=1,所以k=±1
直线y=kx+2和直线2x+y-1=0的交点是M
将y=kx+2代入2x+y-1=0中可得M的横坐标 x= - 1/(2+k)
因为M是AB的中点
所以x=(x1+x2)/2
可得方程 -1/(2+k)= - 8k/(1+4k²)
4k²+16k-1=0
4k²+16k+16-17=0
4(k+2)²=17
k= - 2±√17/2