如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC上一点，延长BC到E，使得CE=CD． 求证：BD⊥AE．

题目

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC上一点，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD⊥AE．

答案

证明：
延长BD交AE于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△ACE和△BCD中
∵

AC＝BC ∠ACE＝∠DCB CE＝CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵∠ADM=∠BDC，
∴∠CAE+∠ADM=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，
∴BM⊥AE，
即BD⊥AE

延长BD交AE于M，证△ACE≌△BCD，推出∠DBC=∠CAE，根据三角形的内角和定理求出∠DBC+∠BDC=90°，求出∠DAM+∠ADM=90°，根据三角形的内角和定理求出∠AMD=90°，根据垂直定义推出即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角相等，垂直定义等知识点的综合运用，关键是推出∠AMD=90°，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．