∫ 0到正无穷 e^(-x^2) dx等于多少啊?

题目

∫ 0到正无穷 e^(-x^2) dx等于多少啊?
是从0到正无穷 不是从负无穷到正无穷

答案

使用伽玛函数和余元公式比较方便
Γ(x)=∫t^(x-1)/e^t dt 积分限为0到正无穷大
取x=3/2得
Γ(1/2)=∫t^(-1/2) * e^(-t)dt = ∫ 1/x * e^(-x^2) d(x^2)=2∫e^(-x^2)dx
余元公式为
Γ(x)*Γ(1-x)=π / sinπx
所以Γ(1/2) = √π
所以
∫e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2
另外一种方法是计算
∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy在[0,R][0,R]上的值,这个计算是先转换成极坐标,然后使用夹逼原理求极限
然后开平方即可.