设函数f(x)=ax²+2bx+c(a

题目

设函数f(x)=ax²+2bx+c(a设函数f(x)=ax²2bx+c(a(1)求证：-3（2）判断f(m-4)的符号,并证明
如果解答正确详细,可以追加分

答案

肯定要限定a≠0,否则没法证b≤0
1.f(1)=a+2b+c=0,b=-(a+c)/2
a3a+c<0-a/30,不等式不成立,所以a<0
（也可以解3a+c<00,c/a不存在）
故3+c/a>0>1+3c/a
-3m是方程f(x)=-a的实根
即ax²+2bx+c+a=0 有实根
Δ＝4b²-4a(a+c)≥0
即(a+c)²-4a(a+c)=(a+c)(-3a+c)≥0 (2)
(1+c/a)(c/a-3)≥0
c/a≥3或c/a≤-1
(1)(2)解得-3所以b=-(a+c)/2=-a(1+c/a)
-a>0,1+c/a≤0,所以b≤0
2.若Δ＝4b²-4a(a+c)=0
a<0,所以f(x)≤0恒成立,当且仅当f(m)=0,所以f(m-4)<0
(1)若Δ=(a+c)(-3a+c)>0
(2)若m为小根,则f(x)在(-∞,m)上单调递增,所以f(m-4)<0
(3)若m为大根
考虑两根区间长L,记L-4=A
若A>0,则f(m-4)>0
若A=0,则f(m-4)=0
若A<0,则f(m-4)<0
设f(x)=-a的两根为x2>x1
L=x2-x1=√Δ=√[(a+c)(-3a+c)]
综上所述
若m为小根,f(m-4)<0
若m为大根
即Δ=(a+c)(-3a+c)
若Δ>16,则f(m-4)>0
若Δ=16,则f(m-4)=0
若0≤Δ<16,则f(m-4)<0