已知函数y=x+2x2+x+1(x>-2)(1)求1/y的取值范围; (2)当x为何值时,y取何最大值?

已知函数y=x+2x2+x+1(x>-2)(1)求1/y的取值范围; (2)当x为何值时,y取何最大值?

题目
已知函数y=
x+2
x2+x+1
(x>-2)
(1)求
1
y
的取值范围;    
(2)当x为何值时,y取何最大值?
答案
(1)设:x+2=t,x=t-2,t>0,
则:
1
y
=
x2+x+1
x+2
=
t2-3t+3
t
=t+
3
t
-3≥2
3
-3

1
y
的取值范围为[2
3
-3,++∞);
(2)欲使y最大,必定
1
y
最小,
此时t=
3
t
,可得t=
3
,即x=2+
3
,ymax=
2
3
+3
3

∴当x=2+
3
时,y最大值为
2
3
+3
3
(1)先设:x+2=t,则:
1
y
x2+x+1
x+2
t2−3t+3
t
,再利用基本不等式求出其取值范围;
(2)欲使y最大,必定
1
y
最小,由(1)可知,此时t=
3
,即x=2+
3
,ymax=
2
3
+3
3
,从而得y的最大值.

函数的最值及其几何意义;基本不等式.

本题考查利用基本不等式求函数的最值时,必须注意满足的条件:一正、二定、三相等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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