极限·有界问题

题目

极限·有界问题
x→0时,2/x × sin1/x^2 手机打的式子,在用需要叙述一遍,在x趋于0时,x分之二乘以sin x方之一.答案说此式,无界,但不为无穷大量.请数学达人帮我证明下,或者说说要点思路,

答案

设 f(x) = 2/x * sin(1/x²)
取两个子列 x(n) = 1/√(2nπ) ,y(n) = 1/√(2nπ+π/2) ,
x(n)->0,y(n) ->0,1/x(n) -> ∞,1/y(n) -> ∞
sin[ 1/ x(n)²] = 0,sin[ 1/ y(n)²] = 1
于是 f[x(n)] = 0,f[y(n)] = 1/y(n) -> ∞
由 Heine 定理可知：在x趋于0时,f(x) 无界,但不为无穷大量.