设α1α2β1β2均是3维列向量,且α1α2线性无关,β1β2线性无关,证明存在向量,使其可以用α1α2线性表出,也可由β1β2线性表出,并求此向量

题目

设α1α2β1β2均是3维列向量,且α1α2线性无关,β1β2线性无关,证明存在向量,使其可以用α1α2线性表出,也可由β1β2线性表出,并求此向量

答案

证明：
因为α1α2β1β2均是3维列向量,且α1α2线性无关,β1β2线性无关
所以,一定存在α3和β3,使得{α1 α2 α3}和{β1 β2 β3}各自都构成三维列向量空间的一组基

如果{α1 α2 α3}={β1 β2 β3}
则命是题显然成立的

如果{α1 α2 α3}≠{β1 β2 β3}
一定存在x,x是一个三维列向量,且x可以仅用α1α2线性表出

       即：存在k1 k2不全为零,使得x=k1α1+k2α2+0*α3
       又因为{β1 β2 β3}构成三维列向量空间的一组基
       所以：α1=a1β1+a2β2+a3β3
                  α2=b1β1+b2β2+b3β3（a1、a2、a3、b1、b2、b3不全为零）
       所以：x=k1α1+k2α2+0*α3=k1a1β1+k1a2β2+k1a3β3+k2b1β1+k2b2β2+k2b3β3
                                                =(k1a1+k2b1)β1+(k1a2+k2b2)β2+(k1a3+k2b3)β3
       所以只要k1a3+k2b3=0,那么x就是符合题意的向量
       不妨设k1=k2=1；b3=-a3=2
       则此时：x=1*α1+1*α2+0*α3=(a1+b1)β1+(a2+b2)β2+0*β3
命题得证!