设数列{an}的前n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{an+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•an}的前n项和Tn．

题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n+2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

答案

（本小题满分13分）
（I） 由题意，当n=1时，得2a₁=a₁+3，解得a₁=3．
当n=2时，得2a₂=（a₁+a₂）+5，解得a₂=8．
当n=3时，得2a₃=（a₁+a₂+a₃）+7，解得a₃=18．
所以a₁=3，a₂=8，a₃=18为所求．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立．
两式相减得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2．
所以a_n+1=2a_n+2（n∈N^*），即a_n+1+2=2（a_n+2）．…（5分）
所以数列{a_n+2}是以a₁+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ） 得：a_n+2=5×2^n-1，即a_n=5×2^n-1-2（n∈N^*）．
则na_n=5n•2^n-1-2n（n∈N^*）．…（8分）
设数列{5n•2^n-1}的前n项和为P_n，
则P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×（n-1）•2^n-2+5×n•2^n-1，
所以2P_n=5×1×2¹+5×2×2²+5×3×2³+…+5（n-1）•2^n-1+5n•2ⁿ，
所以-P_n=5（1+2¹+2²+…+2^n-1）-5n•2ⁿ，
即P_n=（5n-5）•2ⁿ+5（n∈N^*）．…（11分）
所以数列{n•a_n}的前n项和T_n=(5n-5)•2n+5-2×

n(n+1)

2

，
整理得，T_n=（5n-5）•2ⁿ-n²-n+5（n∈N^*）．…（13分）