正方形ABCD的顶点A,B在抛物线y=x2上,C,D在直线y=x-4上,求正方形的边长.

题目

正方形ABCD的顶点A,B在抛物线y=x2上,C,D在直线y=x-4上,求正方形的边长.
设AB所在直线方程为y=x+k(k>-4)
故边长为(k+4)/√2
又联立
y=x+k和y=x^2
有:
x^2-x-k=0
设两根为x1,x2
那么又有边长为√2|x1-x2|=√(2+8k)
所以有
√(2+8k)=(k+4)/√2
解得k=2或者6
所以边长为3√2或5√2
为什么 √2|x1-x2|=√(2+8k)
正方形的边长为(k+4)/√2
为什么呀

答案

由于AB平行于CD,故可以设AB所在直线方程为y=x+k(k>-4)
从而正方形的边长为(k+4)/√2
（直线的斜率为1）
联立直线和抛物线后得
x^2-x-k=0
|x1-x2|表示直线和抛物线的交点在x轴上的投影的长度,又由于直线的斜率为1
故两点之间的线段长为√2|x1-x2|,即为边长
由于|x1-x2|=√【（x1+x2)^2-4x1x2】,而x1+x2=1,x1x2=-k,代入得
|x1-x2|=√（1+4k)
故√2|x1-x2|=√(2+8k)
再根据边长相等,列出等式
√(2+8k)=(k+4)/√2
解得k=2或者6