已知函数f(x)=cos2x+asinx. (1)当a=2时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)的最小值为-6,求实数a的值; (3)若a∈R,求函数f(x)的最大值.
题目
已知函数f(x)=cos2x+asinx.
(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的最小值为-6,求实数a的值;
(3)若a∈R,求函数f(x)的最大值.
答案
(1)当a=2时,∵函数f(x)=cos
2x+asinx=1-sin
2x+2sinx+1=-(sinx-1)
2+2,-1≤sinx≤1,
∴当sinx=1时,函数取得最大值为2,当sinx=-1时,函数取得最小值为-2,故函数的值域为[-2,2].
(2)若函数f(x)=-sin
2x+asinx+1=-
(sinx−)2+
+1 的最小值为-6,
当a≤0时,由函数的最小值为-
(−1−)2+
+1=-6,求得 a=-6.
当a>0时,由函数的最小值为-
(1−)2+
+1=-6,求得a=6.
综上可得,a=±6.
(3)由于f(x)=-
(sinx−)2+
+1 的对称轴为x=
,
当
<-1,即a<-2时,函数f(x)的最大值为-
(−1−)2+
+1=-a,
当-1≤
≤1,即-2≤a≤2时,函数f(x)的最大值为
+1,
当
>2时,即a>2时,-
(1−)2+
+1=a.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点