已知函数f(x)=cos2x+asinx. (1)当a=2时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)的最小值为-6,求实数a的值; (3)若a∈R,求函数f(x)的最大值.

已知函数f(x)=cos2x+asinx. (1)当a=2时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)的最小值为-6,求实数a的值; (3)若a∈R,求函数f(x)的最大值.

题目
已知函数f(x)=cos2x+asinx.
(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的最小值为-6,求实数a的值;
(3)若a∈R,求函数f(x)的最大值.
答案
(1)当a=2时,∵函数f(x)=cos2x+asinx=1-sin2x+2sinx+1=-(sinx-1)2+2,-1≤sinx≤1,
∴当sinx=1时,函数取得最大值为2,当sinx=-1时,函数取得最小值为-2,故函数的值域为[-2,2].
(2)若函数f(x)=-sin2x+asinx+1=-(sinx−
a
2
)
2
+
a2
4
+1 的最小值为-6,
当a≤0时,由函数的最小值为-(−1−
a
2
)
2
+
a2
4
+1=-6,求得 a=-6.
当a>0时,由函数的最小值为-(1−
a
2
)
2
+
a2
4
+1=-6,求得a=6.
综上可得,a=±6.
(3)由于f(x)=-(sinx−
a
2
)
2
+
a2
4
+1 的对称轴为x=
a
2

a
2
<-1,即a<-2时,函数f(x)的最大值为-(−1−
a
2
)
2
+
a2
4
+1=-a,
当-1≤
a
2
≤1,即-2≤a≤2时,函数f(x)的最大值为 
a2
4
+1,
a
2
>2时,即a>2时,-(1−
a
2
)
2
+
a2
4
+1=a.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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