对于二次函数y=ax2;+bx+c,有x=-1时,y=0 是否存在实数a,b,c使x≤y≤1/2(x2+1)对一切实数x恒成立并证明

题目

对于二次函数y=ax2;+bx+c,有x=-1时,y=0 是否存在实数a,b,c使x≤y≤1/2(x2+1)对一切实数x恒成立并证明

答案

y=ax²+bx+c,有x=-1时,y=0,
a-b+c=0……①
x≤y≤1/2(x²+1)对一切实数x恒成立,令x=1得：1≤y≤1/2(1²+1)
1≤y≤1,所以y=1.即x=1时,y=1.
a+b+c=1.……②
y≥x对一切实数x恒成立,可得ax²+bx+c≥x
ax²+(b-1)x+c≥0,
所以a>0,△=(b-1)²-4ac≤0.……③
由②得：1-b=a+c代入③得：(a+c)²-4ac≤0,
(a-c)²≤0,
所以a=c,与①②联立解得a=1/4,b=1/2,c=1/4.