已知函数f(x)=(4^-x)+(2^-x)-1的值域为[1,5],则x的取值范围是?

题目

已知函数f(x)=(4^-x)+(2^-x)-1的值域为[1,5],则x的取值范围是?

答案

令t=2^(-x)>0,则f=t^2+t-1
因t>0,所以f关于t单调增,而t关于x单调减,所以f关于x单调减.
由t^2+t-1=1,得(t+2)(t-1)=0,得t=1,即x=0
由t^2+t-1=5,得(t+3)(t-2)=0,得t=2,即x=-1
所以x的取值范围是[-1,0]