一个立体图形的射影面积题

题目

一个立体图形的射影面积题
正四面体ABCD的棱长为1,棱AB平行与平面R,则正四面体上所有点在平面R内的射影构成的图形面积的取值范围?

答案

我是这么想的.画一个平面在正四面体正下方,使得平面与正四面体的底面——设为ABC——平行.接下来去模拟这个正四边形绕着底面某条棱边旋转360度的过程里投影的情况,这条棱就是AB.
30度,在平面上的投影都是三角形,且这个三角形的面积越来越小,因为AB的投影始终是1,而C的投影离AB的投影越来越近,也就是投影的高缩短了.这个阶段,投影的面积在0度时最大,也就是三角形ABC的面积,为4分之根号3.在30度时,ABD面垂直于R,此时投影面积最小,为6分之根号6
30~90度,在平面上的投影都是四边形.且这个四边形的对角线始终是垂直的,于是这个四边形的面积就是1/2倍对角线的乘积.其中一条对角线是AB的投影,为1,另一条为CD的投影,最长为1,因此,这个四边形最大的面积为1/2.
90~120度,跟0~30度反过来的过程,投影为三角形,面积逐渐变大.直至120度时,ABC面又一次与R平行.
这时候的变化就是此前的重复.
因此,面积的变化范围为6分之根号6