已知α,β均为锐角,且tan α=3/1,cos(α+β)=根号/5,则β=

题目

已知α,β均为锐角,且tan α=3/1,cos(α+β)=根号/5,则β=
tan α=1/3，cos(α+β)=根号5/5

答案

α,β均为锐角,
那么α+β一定大于0度,小于180度,故sin(α+β)>0,
cos(α+β)=√5 /5,
那么由公式sin²x+cos²x=1可以得到
sin(α+β)=2√5 /5
于是tan(α+β)=2,
而
tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)
=(1/3 +tanβ)/(1- 1/3 *tanβ)
=2
解得tanβ=1,
β为锐角
所以β=45度