一道万有引力物理题,

题目

一道万有引力物理题,
设A、B为地球赤道圆的一条直径的两端,利用同步卫星将一电磁波信号由A点传到B点,问要几颗卫星?他们相距最近多少?传信号由A到B最长时间?已知地球半径R,g重力加速度,地球周期T,电磁波速度c

答案

数据用字母比较抽象,这里先暂时代入数字.
地球赤道半径R：6378千米
地球质量M：5.98*10^24千克
地球周期T：86400秒
引力常量G：6.67*10^-11
重力加速度g：10米每两次方秒
设卫星的高度为H,既然是同步卫星,说明周期跟地球相同；既然绕地球做圆周运动,说明万有引力全部提供为向心力,
以此推出：g=a 代公式得：GM/（R+H）^2=(2π/T)*(R+H)
代入数据得：H=35872千米
这样一来同步卫星的轨道锁定了,你可以用圆规画两个半圆（为什么是半圆呢,主要是为了思考和作图的方便,最后你会发现效果一样的）,里面是地球半径,外面是轨道半径.然后再地球轨道上设立A、B点,圆心为O.
如果图标准的画,可以明显看出两颗卫星就行了.
接着先说什么时候最近,就是说要两颗卫星在轨道上靠得最近,而且发射的沿着直线传播电磁波不能被地球挡住,所以可以通过寻找切点来分析.
这是我的想法：作A的切线,然后延长切线与卫星的轨道相交,设交点是C.
已相同方法对付B点,设另外的交点为D.
这应该是极限了,再靠近的话切点就变掉了,就传不到A和B了.
画完后发现两条线是平行的,中间距离就是地球的直径,最近
距离就是地球的直径2R,就是12756千米.
下面是我对后个问题的方法：不妨将两颗卫星拉开,使其间距变大.
可以连接AB,作这条直径的垂线,然后与地球半径相交,交点记为
X,然后以X为切点向两边延长,分别与轨道半径交于E和F两点,连接AE、EF、FB.随后用已知的条件计算出这三条线段的长度,加在一起是最大距离了.
计算中运用到余弦定理：cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab (其中大写字母是角度,小写字母是其对应的边）.
最后用距离除以c就是最长时间了.
算下来时间为0.52秒左右.
如果你一定要字母式子的话:
这个式子太长了,我来分布表示,
设 (GMT^2/4π^2)^(1/3)=x
整个式子为：< 2*(x^2-R^2)^(1/2) +
2*( R^2 + x^2 -2R*(x^2-R^2)^(1/2) )^(1/2) >/c
至于好像没用到重力加速度,这里给两个式子：gH^2=GM
H=x-r
所以,g=GM/(x^2 - 2xR + R^2),可以得到其实式子能转化的,你也可以让式子里有g存在.
最后,由于这类题目数据计算存在很多字母和次方以及三角比计算,所以用字母表示实在很不方便,而且我算得很晕.这个字母式子也许哪个地方算错了,希望楼主可以自己用上述的方法进行检验,自己代一遍做一下.
至于用到的公式相信你们上课也讲过的,我不多说了.