求∫ln[e^(x)+1]/e^(x)dx

题目

求∫ln[e^(x)+1]/e^(x)dx

答案

先换元 令 e^x=t 那么x=lnt
∫ln[e^(x)+1]/e^(x)dx =∫ln[t+1]/t d(lnt)
=∫ln[t+1]/t^2 dt
= -∫ln[t+1] d（1/t) 然后分步积分
= - ln[t+1]/t + ∫1/t d(ln[t+1])
= - ln[t+1]/t + ∫(1/t)(1/(t+1)) dt
= - ln[t+1]/t + ∫1/t dt - ∫1/(t+1) dt
= - ln[t+1]/t + lnt - ln(t+1)
将 t= e^x带入 得：
原式= - ln[e^x +1]/e^x + x - ln(e^x +1)