一道数学题:已知f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx,f(1)=10,f(2)=20,f(3)=30,求f(10)+f(-6)=?

题目

一道数学题:已知f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx,f(1)=10,f(2)=20,f(3)=30,求f(10)+f(-6)=?
构造函数g(x)=f(x)-10x,∴g(1)=g(2)=g(3)=0.故f(10)+f(-6)=(10-1)(10-2)(10-3)(10-m)+100+(-6-1)(-6-2)(-6-3)(-6-r)-60=8104
答案我看了好久没看懂,

答案

这个答案是不正确的,我不知道你是不是题目抄错了,实际上,这个题目是无解的(或者说有无穷多种可能性).当a=1时,才是上述答案.
先讲一条引理：设n次方多项式g(x)=An·x^n+An-1·x^(n-1).+A1·x+A0,如果已知g(an)=g(an-1)=g(an-2)=g(a1)=0,共n个根,则g(x)可以因式分解为g(x)=An(x-an)(x-an-1)(x-an-2)...(x-a1)
根据上述原理,我们设g(x)=f(x)-10x,显然g(0)=g(1)=g(2)=g(3)=0,所以我们可以把g(x)因式分解为
g(x)=a(x-0)(x-1)(x-2)(x-3),那么f(x)=g(x)+10x=a*x*(x-1)(x-2)(x-3)+10x.①
将10代入①,得到f(10)=a*10*9*8*7+100=5040*a+100
将-6代入①,得到f(-6)=a*(-6)*(-7)*(-8)*(-9)-60=3024*a-60
f(10)+f(-6) = 8064*a+40
根据a取不同的值,该表达式取值不同,比如a为1是,该表达式为8104,a为2时,该表达式为16168
当然,我们也可以用蛮力求解,验证一下上面结果
将1,2,3代入表达式,得到
方程组：{a+b+c+d=10,16a+8b+4c+2d=20,81a+27b+9c+3d=30}
该方程组化简为：{a+b+c+d=10,8a+4b+2c+d=10,27a+9b+3c+d=10}
进一步可以得到b=-6a,c=11a,d=10-6a
即f(x)=ax^4-6a*x^3+11a*x^2+(10-6a)x
将10和6代入得到：
f(10)=10000a-6000a+1100a+100-60a=5040a+100
f(-6)=1296a+1296a+396a+36a-60=3024a-60
所以f(10)+f(-6) = 8064*a+40
与上面简单方法获得的答案是相同的.