已知抛物线y＝﹣x²＋2x＋3经过A﹙﹣1,0﹚,B﹙3,0﹚,C﹙0,3﹚三点,直线L是抛物线的对称轴.

题目

已知抛物线y＝﹣x²＋2x＋3经过A﹙﹣1,0﹚,B﹙3,0﹚,C﹙0,3﹚三点,直线L是抛物线的对称轴.
﹙1﹚设点P是直线L上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标
﹙2﹚在直线L上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形.若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标.若不存在,请说明理由

答案

第一个问题：
设点C关于直线L的对称点为D,连AD与直线L的交点就是满足条件的点P.
下面证明点P是满足条件的：
∵C、D关于直线L对称,∴PC＝PD,∴PA＋PC＝PA＋PD＝AD.
在直线L上取点P外的任意一点Q,则：A、D、Q连成一个三角形角,∴QA＋QD＞AD.
显然有：QC＝QD,∴QA＋QC＞AD.
∴点P是使（PA＋PD）最小的点,而AC是定值,∴此时△PAC的周长最小.
∴点P是满足条件的点.
下面求出点P的坐标：
∵y＝－x^2＋2x＋3＝－x^2＋2x－1＋4＝－（x－1）^2＋4,
∴抛物线的对称轴L的方程是：x＝1.
在y＝－x^2＋2x＋3中,令y＝3,得：－x^2＋2x＝0,∴x（x－2）＝0,∴x＝0,或x＝2.
∴点D的坐标是（2,3）.
∴AD的斜率＝（0－3）/（－1－2）＝1,∴AD的方程是：y＝x＋1.
令y＝x＋1中的x＝1,得：y＝2.
∴点P的坐标是（1,2）.
第二个问题：
设存在满足条件的点M（1,m）,使△MAC是等腰三角形.
一、当AM＝AC时,（－1－1）^2＋（0－m）^2＝（－1－0）^2＋（0－3）^2＝10,
　　∴m^2＝6,∴m＝√6,或m＝－√6.
　　∴此时点M的坐标是（1,√6）,或（1,－√6）.
二、当CM＝AC时,（0－1）^2＋（3－m）^2＝10,∴（3－m）^2＝9,
　　∴3－m＝3,或3－m＝－3,∴m＝0,或m＝6.
　　∵抛物线方程是：y＝－（x－1）^2＋4,∴m≦4,∴m＝6不合理,应舍去.
　　∴此时点M的坐标是（1,0）.
三、当CM＝AM时,（0－1）^2＋（3－m）^2＝（－1－1）^2＋（0－m）^2,
　　∴1＋（3－m）^2＝4＋m^2,∴（3－m）^2－m^2＝3,
　　∴［（3－m）＋m］［（3－m）－m］＝3,∴3－2m＝1,∴2m＝2,∴m＝1.
　　∴此时点M的坐标是（1,1）.
综上可知,满足条件的点M是存在的,坐标是：
（1,√6）,或（1,－√6）,或（1,0）,或（1,1）.