设函数f(x)=ax+(a+1)/x(a>0),g(x)=4-x,已知满足f(x)=g(x)的x有且只有一个.
题目
设函数f(x)=ax+(a+1)/x(a>0),g(x)=4-x,已知满足f(x)=g(x)的x有且只有一个.
(1)求a的值
(2)若函数h(x)=k-f(x)-g(x)(其中x属于0到正无穷大,k属于R)在[m,n]上的值域为[m,n](0
答案
(1)ax+(a+1)/x=4-x有一个解,所以方程(a+1)x^2-4x+a+1=0的判别式16-4(a+1)^2=0
解得a=1(a=-3舍去)
(2)h(x)=-2/x+k-4的定义域和值域都为[m,n](0h(m)=m,h(n)=n
也就是说方程h(x)=x即x^2+(4-k)x+2=0有两相异正根,所以有
△=(4-k)^2-8>0
k-4>0
解得k>4+2√2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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