如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE最小的值是

如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE最小的值是

题目
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE最小的值是
答案
考点:平行四边形的性质;垂线段最短;平行线之间的距离.
专题:压轴题.
分析:由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知,当OD⊥BC时,DE线段取最小值.
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=AB2+BC2=5.
∵四边形ADCE是平行四边形,
∴OD=OE,OA=OC=2.5.
∴当OD取最小值时,DE线段最短,此时OD⊥BC.
∴OD=12AB=1.5,
∴ED=2OD=3.
故答案是3.
点评:本题考查了平行四边形的性质,以及垂线段最短.解答该题时,利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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