已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值

题目

已知两正数xy满足x+y=1,求z=(x+1/x)*(y+1/y)的最小值

答案

(x + 1/x) * (y + 1/y)
= [(x^2 + 1)/x] * [(y^2 + 1)/y]
= [x^2 + y^2 + (xy)^2 + 1]/xy
= [(x+y)^2 - 2xy + (xy)^2 + 1]/xy
将x+y=1代入：
= [(1 - 2xy + (xy)^2 + 1]/xy
= xy + 2/(xy) - 2
由于x+y ≥ 2√xy,则 0 ＜ xy ≤1/4
对于对钩函数xy + 2/(xy),拐点是√2 >1/4
所以xy = 1/4时取最小值
即原式 = 1/4 + 8 -2 = 25/4
希望我的回答对你有所帮助~