证明:在三角形abc中各内角的余弦值不大于3/2

题目

证明:在三角形abc中各内角的余弦值不大于3/2
可以用向量,不等式(包括均值不等式,排序不等式),几何,代数法均可,不过最好用不等式做,

答案

因a+b+c=π
不妨设a∈（0,π/2）
则cosa+cosb+cosc=cosa+cosb-cos(a+b)
=cosa+2sina/2*sin(a/2+b)
因sin(a/2+b)<=1,sina/2>0
所以cosa+2sina/2*sin(a/2+b)<=cosa+2sina/2=1-2sin²a/2+2sina/2
=3/2-2(sina/2-1/2)²<=3/2
当sina/2=1/2,sin(a/2+b)=1时取得最大值
此时a=π/3,b=π/3,c=π/3