limf（x）（x趋向于0）=f（0）=1,f（2x）-f（x）=x^2,求f（x）

题目

limf（x）（x趋向于0）=f（0）=1,f（2x）-f（x）=x^2,求f（x）

答案

f(2x)-f(x)=x^2
故：f(x)-f(x/2)=(x/2)^2
f(x/2)-f(x/4)=(x/4)^2
……
f(x/2^(n-1))-f(x/2^n)=(x/2^n)^2（n∈N+）
以上各式相加：f(x)-f(x/2^n)=x^2*(1/4+1/16+……+1/2^(2n))
由等比求和公式得：f(x)-f(x/2^n)=x^2*(1-1/4^n)/3
等号两边同加极限n→+∞,得：
f(x)-limf(x/2^n)=(x^2)/3
f(x)=(x^2)/3+f(0)=(x^2)/3+1
即：f(x)=(x^2)/3+1
检验：f(2x)-f(x)=(4x^2)/3+1-(x^2)/3-1=(3/3)x^2=x^2……符合
故：f(x)=(x^2)/3+1
有不懂欢迎追问