已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=3， （Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn．

题目

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-1，a₁=3，
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）依题意有a_n+1-1=2a_n-2且a₁-1=2，
所以

an+1−1

an−1

＝2
所以数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=（a₁-1）2^n-1，
即a_n-1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ+1
而S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+1）+（2²+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）=（2+2²+2²+…+2ⁿ）+n=

2(1−2n)

1−2

+n=2ⁿ⁺¹-2+n．