已知{an}为等差数列,公差d≠0 an≠0(n∈N+),且a(k)x^2+2a(k+1)x+a(k+2)=0（k∈N+）

题目

已知{an}为等差数列,公差d≠0 an≠0(n∈N+),且a(k)x^2+2a(k+1)x+a(k+2)=0（k∈N+）
(1)求证：当k取不同自然数时 此方程有公共根
（2）若方程不同的根依次为X1,X2,…,Xn,…,求证数列1/（X1+1）,1/(X2+1),…,1/(Xn+1)…为等差数列

答案

证明 (1）∵{an}是等差数列,∴2a(k+1)=a(k)+a(k+2),故方程a(k)x^2+2a(k+1)x+a(k+2)=0可变为[a(k)x+a(k+2)](x+1)=0,∴当k取不同自然数时,原方程有一个公共根－1 (2）原方程不同的根为x(k)=-[a(k+2)]/a(k)=-[a(k)+2d]/...