如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC内部一点,试比较PA+PB+PC与AB+AC的大小关系（用费马点）

题目

如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC内部一点,试比较PA+PB+PC与AB+AC的大小关系（用费马点）

答案

第一种：把三角形PAB绕A点顺时针旋转60度得三角形QAD,则D,A,C在同一直线上.
AP=AQ,AB=AD,且角PAQ=角BAD=60
所以,三角形PAQ和三角形BAD均为正三角形.
所以,AP=PQ,AD=AB
由三角形APB全等于三角形AQD知：PB=QD
而DQ+PQ+PC>AD+AC,即：PA+PB+PC>AB+AC
第二种：把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,如图
∴∠CAC′=∠PAP′=60°,AC=AC′,AP=AP′,PC=P′C,
∴△APP′为等边三角形,
∴PP′=AP,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAC′=120°+60°=180°,
即B,A,C′共线,
∴BC′＜BP+PP′+P′C,
即AB+AC＜AP+BP+CP．