点A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线C：x²=2y上的不同两点,过A,B分别作抛物线C的切线,两条切线

题目

点A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线C：x²=2y上的不同两点,过A,B分别作抛物线C的切线,两条切线
下接;交于点P（x0,y0）．
（1）求证：x0是x1与x2的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0,1）,求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下,求△PAB的重心G的轨迹方程．
要过程

答案

1、
x²=2y
对x求导
2x=2y'
y'=x
即切线斜率是x
所以PA是y-y1=x1(x-x1)=x*x1-x1²
PB是y-y2=x*x2-x2²
相减
y2-y1=x(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)
因为y=x²/2
所以-(x1+x2)(x1-x2)/2=x(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)
-(x1+x2)/2=x-(x1+x2)
所以x0=(x1+x2)/2
所以是等差中项
2、
AB过定点M（0,1）
则y-1=k(x-0)
y=kx+1
x²=2y
所以x²-2kx-2=0
x1+x2=2k
x1x2=-2
则x0=(x1+x2)/2=k
由第一个
y0=y1+x0*x1-x1²=x1²/2+(x1+x2)/2*x1-x1²=x1x2/2
所以y0=-1
所以kop=y0/x0=-1/k,而kAB=k
所以OP垂直AB
同理
kAP=x1
KOB=y2/x2=(x2²/2)/x2=x2/2
而x1*x/2=-1
所以AP垂直OB
所以O是三角形高的交点,即垂心
3、
设重心是G(x,y)
则x=(x1+x2+x0)/3=(2x0+x0)/3=x0=k
y=(y1+y2+y0)/3=(1/2)(x1²+x2²)/3-1/3
=1/6*[(x1+x2)²-2x1x2]-1/3
=(2k²+1)/3
所以轨迹是y=(2x²+1)/3'
花了很长时间
哎,185分钟内采纳的饿0分也没了
其实得不偿失的