用极限的定义证明lima^n/n!=0(n→∞)

题目

用极限的定义证明lima^n/n!=0(n→∞)
用定义(因为只学到这左右),就是任给V存在E,当n>M时,｜a^n/n!｜

答案

由于必然存在N1,使得n>=N1时,n>|a|,所以我们可以只看N1后面的项(注意到a给定时,这个N1是常数)
当n>N1时,
|a^n/n!| = |a/1| * .|a/N1| * |a/(N1+1)| * ...|a/n|
<|a|/1 * .|a|/N1 *|a|^(n-N1)/n^(n-N1)
令|a|/1 * .|a|/N1 =M
有|a^n/n!| 所以任给ε>0,取N= N1+log(|a|/N1)ε/M (N1加上以a/N1为底,ε/M的对数),这样,当n>N时有
|a^n/n!|<=M(|a|/N1)^(N-N1)=ε
从而得证