y的二阶导数等于e的2y次方,求通解

题目

y的二阶导数等于e的2y次方,求通解

答案

设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
原等式可化为pdp/dy=e^(2y)
pdp=e^(2y)dy
p^2/2=1/2e^(2y)+C/2
即p^2=e^(2y)+C
dy/dx=√[e^(2y)+C]
dy/√[e^(2y)+C]=dx
两边积分,设e^y=√Ctanu,y=ln(√Ctanu),dy=du/(sinucosu),cotu=√Ce^(-y)
∫dy/√[e^(2y)+C]=∫du/(sinucosu)*1/(√Csecu)=1/√C∫cscudu=1/√Cln|cscu-cotu|-D
1/√Cln|√(1+Ce^(-2y))-√Ce^(-y)|=x+D