如图所示，有一足够长的光滑平行金属导轨，电阻不计，间距L=0.5m，导轨沿与水平方向成θ=30°倾斜放置，底部连接有一个阻值为R=3Ω的电阻．现将一根长也为L质量为m=0.2kg、电阻r=2Ω的均匀金

题目

如图所示，有一足够长的光滑平行金属导轨，电阻不计，间距L=0.5m，导轨沿与水平方向成θ=30°倾斜放置，底部连接有一个阻值为R=3Ω的电阻．现将一根长也为L质量为m=0.2kg、电阻r=2Ω的均匀金属棒，自轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下，下滑中均保持与轨道垂直并接触良好，经一段距离后进入一垂直轨道平面的匀强磁场中，如图所示．磁场上部有边界OP，下部无边界，磁感应强度B=2T．金属棒进入磁场后又运动了一段距离便开始做匀速直线运动，在做匀速直线运动之前这段时间内，金属棒上产生了Qr=2.4J的热量，且通过电阻R上的电荷量为q=0.6C，取g=10m/s²．求：

（1）金属棒匀速运动时的速v₀；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，其加速度a的大小及方向；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S．

答案

（1）根据平衡条件得：F_安=mgsinθ
又F_安=BIL，I=

E

R+r

，E=BLv₀，则：F_安=

B2L2v0

R+r

，
代入数据解得：v₀=5m/s；
（2）由牛顿第二定律得：mgsinθ-F_安=ma，
代入数据解得：a=-1m/s²，
说明此时加速度大小为1m/s²，方向沿斜面向上．
（3）由于金属棒r和电阻R上电流时刻相同，由焦耳定律Q=I²Rt，得知Q∝R
则R产生的热量为Q_R=

R

r

Q_r，
代入数据解得：Q_R=3.6J，
金属棒匀速运动整个电路产生的总热量为：Q=Q_R+Q_r=3.6+2.4=6J，
在该过程中电路的平均电流为I=

E

R+r

=

△φ

△t(R+r)

，
设匀速前金属棒在磁场中位移为x，则此过程中通过R的电量为：
q=I•△t=

△φ

R+r

=

BLx

R+r

，
从释放到刚匀速运动过程中，由能量守恒定律得：
gsinθ（S+x）=

1

2

mv₀²+Q，
代入数据解得：S=5.5m．
答：（1）金属棒匀速运动时的速v₀为5m/s；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，加速度大小为1m/s²，方向沿斜面向上；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S为5.5m．