直线y=k(x-1)与双曲线x2-y2=4没有公共点,则k的取值范围是 _ .

直线y=k(x-1)与双曲线x2-y2=4没有公共点,则k的取值范围是 _ .

题目
直线y=k(x-1)与双曲线x2-y2=4没有公共点,则k的取值范围是 ___ .
答案
由题意,直线y=k(x-1)代入双曲线x2-y2=4方程,可得x2-[k(x-1)]2=4
∴(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0
∵直线y=k(x-1)与双曲线x2-y2=4没有公共点,
∴△=4k4-4(1-k2)(-k2-4)<0
∴3k2-4>0,
∴k<-
2
3
3
或k>
2
3
3

故答案为:k<-
2
3
3
或k>
2
3
3
将直线方程代入双曲线方程,化为关于x的方程,利用方程的判别式小于0,即可求得k的取值范围.

双曲线的简单性质.

本题考查直线与双曲线的位置关系,解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程有根的问题,这是研究两曲线有交点的问题时常用的转化方向.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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