如图,直线y=1/2x+2分别交x,y轴于点A,C,P是该直线上第一象限内的一点,PB⊥x轴,B为垂足,S△ABP=9,P(2,3

题目

如图,直线y=1/2x+2分别交x,y轴于点A,C,P是该直线上第一象限内的一点,PB⊥x轴,B为垂足,S△ABP=9,P(2,3
设点M与点P在同一个反比例函数的图像上,且点M在直线PB右侧,过M作MN⊥x轴,N为垂足,当△BMN与△AOC相似时,求M点的坐标

答案

若BM//AC,△BMN与△AOC相似,[AAA,证明略],设M(p,q),q<3,此时在BM上有无数个满足条件点;
假如原题是...△BMN与△AOC全等时...,须满足BM//AC：
易得A(-4,0),C(0,2),B(2,0);
M(p,q),BM的方程的斜率=1/2,
MN:NB=1/2,
q:p-2=1/2,
p=2q+2;...1)
BM²=MN²+BN²=AC²
q²+(p-2)²=4²+2²
q²+(p-2)²=20,...2)
1)代入2):
q²+(2q+2-2)²=20,
q1=2,p1=6;M1(6,2)；另一个是M1关于x轴的对称点M2(6,-2).【严格说来也满足要求,因为“点M在直线PB右侧”,不是“点M在线段PB右侧”】
【另一个q2=-2,p2=-2,在直线PB左侧,舍去；】