过点P(2,0)作圆x2+y2=16的弦AB求AB的中点M的轨迹方程

题目

过点P(2,0)作圆x2+y2=16的弦AB求AB的中点M的轨迹方程
如题

答案

设直线PAB方程：y=k(x-2)
x^2+k^2(x^2-4x+4)=16
(1+k^2)x^2-4k^2x+4k^2-16=0
x1+x2=4k^2/(1+k^2)
y1+y2=k(x1+x2-4)=k(4k^2/(1+k^2) -4)
所以中点(x,y) 其中x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2
得x=2k^2/(1+k^2) y=k(2k^2/(1+k^2)-2)
y=k(x-2)
k=y/(x-2)
代入得 x=2y^2/(x-2)^2 /(1+y^2/(x-2)^2)
x=2y^2 /((x-2)^2+y^2)
2y^2=x(x-2)^2+xy^2
所以轨迹方程为2y^2=x(x-2)^2+xy^2
y^2(2-x)=x(x-2)^2
y^2=-x(x-2)
y^2+x^2-2x+1=1
y^2+(x-1)^2=1