求正交矩阵Q,使Q^-1AQ为对角矩阵,

题目

求正交矩阵Q,使Q^-1AQ为对角矩阵,
矩阵的三行分别为：a1=[1,-2,2]
a2=[-2,-2,4]
a3=[2,4,-2]

答案

|A-λE| =
1-λ -2 2
-2 -2-λ 4
2 4 -2-λ
=c2+c3
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
2 2-λ -2-λ
=r3-r2
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
4 0 -6-λ
=(2-λ)*
1-λ 2
4 -6-λ
= -(λ + 7)(λ - 2)^2
A的特征值为 -7,2,2
(A+7E)X=0 的基础解系为:a1=(1,2,-2)'
(A-2E)X=0 的基础解系为:a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)' -- 已正交
单位化:
b1=(1/3,2/3,-2/3)'
b2=(2/√3,-1'√3,0)'
b3=(2/√45,4/√45,5/√45)'
令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵,使Q^-1AQ=diag(-7,2,2).