设x,y∈R,则(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为( ) A.4 B.5 C.16 D.25
题目
设x,y∈R,则(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为( )
A. 4
B. 5
C. 16
D. 25
答案
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e17586195834990f603728de9a2.jpg)
∵(3-4y-cosx)
2+(4+3y+sinx)
2=
( | [(3-4y)-cosx]2+[(4+3y)-(-sinx)]2 |
)2,
类比两点间的距离公式|AB|=
,
而且3(3-4y)+4(4+3y)-25=0,
∴所求的式子为直线3x+4y-25=0上的一点到圆x
2+y
2=1上的一点的距离的平方,
画图可知,过原点O(0,0)作3x+4y-25=0的垂线段,垂足为P,|OP|=
=5,
OP与圆的交点分别为M、N,
显然,(3-4y-cosx)
2+(4+3y+sinx)
2的最小值为|PM|
2=(|OP|-|OM|)
2=(|OP|-1)
2=16.
故选C.
明确(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的几何意思,为直线3x+4y-25=0上的点到圆x2+y2=1上的点的距离的平方,利用点到直线间的距离公式即可求得答案.
三角函数的最值.
本题考查三角函数的最值,理解(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2的几何意思是关键,也是难点,考查转化思想与逻辑思维能力,属于难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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