求证:三条互不平行的直线L1:a1x+b1y+c1=0,直线L2:a2x+b2y+c2=0,只想爱你L3:a3x+b3y+c3=0共点的充要条件是
题目
求证:三条互不平行的直线L1:a1x+b1y+c1=0,直线L2:a2x+b2y+c2=0,只想爱你L3:a3x+b3y+c3=0共点的充要条件是
充要条件是矩阵a1 b1 c1(换行)a2 b2 c2 (换行)a3 b3 c3的值为零
答案
共点证明行列式为0:
考虑方程组
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
三线共点说明方程组有非0解(z=1)
所以系数行列式为0.
反过来
已知行列式det A为0
若假设三线不共点
那么方程组
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2y+c2=0
a3x+b3y+c3=0
无解
也就是方程组
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
0x+ 0y+ 1z=1
无解
因为det A为0,故前三个方程至少有一个是另两个的线性组合(多余),不妨设第一个是多余的
那么方程组
a2x+b2y+c2z=0
a3x+b3y+c3z=0
0x+ 0y+ 1z=1
的系数行列式det A'必为0
但detA'=a2b3-a3b2不等于0(因为两条直线不平行)
矛盾
所以三线共点
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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