等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.

等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.

题目
等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.
答案
△APQ为等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABP与△ACQ中,
AB=AC
∠ABP=∠ACQ
BP=CQ

∴△ABP≌△ACQ(SAS).
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.
先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△APQ是等边三角形.

等边三角形的判定;全等三角形的判定与性质.

考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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