一个金字塔的锥体,它的底面是一个边长为l正方形,锥体的高为h,求它的体积,定积分

题目

一个金字塔的锥体,它的底面是一个边长为l正方形,锥体的高为h,求它的体积,定积分

答案

从金字塔的塔尖的竖直剖面是一个三角形.
在此三角形内任画一条水平线,此水平线的高设为y；
此水平线与三角形相交于两点,两点间的距离设为x.
此水平线所在的水平面与金字塔的截面是一个正方形.
根据相似三角形的性质,有 x/L = (h - y)/h =1 - y/h,dy = -(h/L)dx .
截得的正方形面积是 x²,此处的水平薄片厚为dy,体积为 x²dy
金字塔的总体积
= ∫(0→h) x²dy
= -∫(L→0) x²(h/L)dx
= (h/L)∫(0→L) x²dx
= (1/3)(h/L)x³ (0→L)
= (1/3)(h/L)L³
= (1/3)L²h
= 三分之一的底面积乘高.