如图,在△ABC中,CA⊥CB,点M在Y轴上且为BC边的中点,点A的坐标为(0,-2),C在X轴上移动,求顶点B的轨迹方程 .

题目

如图,在△ABC中,CA⊥CB,点M在Y轴上且为BC边的中点,点A的坐标为(0,-2),C在X轴上移动,求顶点B的轨迹方程 .
请见谅,注M点在X轴正半轴上）

答案

M点在y轴正半轴上吧!
C在X轴上移动,设C的坐标为(m,0),结合A的坐标(0,-2),可以得到直线AC的斜率k1=2/m,由于CA⊥CB,所以直线BC的斜率k2=-1/k1=-m/2,直线BC过点C(m,0),
则可得到直线BC的方程为y=-mx/2+m^2/2,点M是直线BC与y轴的交点,那么点M的坐标为(0,m^2/2)
点M(0,m^2/2)是BC的中点,点C坐标为(m,0),可轻易得到点B的坐标为(-m,m^2),令x=-m,y=m^2,可以得到顶点B的轨迹方程为y=x^2,根据题设C的坐标不能为(0,0),否则中点M将不存在,
所以顶点B的轨迹方程为y=x^2(x≠0)