过一个定点的所有直线都平分该凸多边形的面积,那么该多边形一定关于该点中心对称吗?

题目

过一个定点的所有直线都平分该凸多边形的面积,那么该多边形一定关于该点中心对称吗?
1.过一个定点的所有直线都平分该凸多边形（或者曲线形,下同）的面积,那么该多边形一定关于该点中心对称吗?
2.过一个定点的所有平面都平分凸多面体的体积,那么该多面体一定关于该中心对称吗?
第一个我觉得大概是没错的,也给出了不完全的证明
第二个我就证明不了了,那么它到底正确么?

答案

1,2 都正确,用微元法证明,由于画图不便,以及在下以为证明过程较容易,证明略.
2是1的推广,1是2的特殊情况.