问一道三角函数的题
题目
问一道三角函数的题
设h(x)=f(π/2-2x)+4kf(x-π/2),是否存在实数k,使得h(x)在R上的最小值为-3/2?若存在,求出对应的K值,若不存在,请说明理由,
f(x)=sinx
答案
h(x)=sin(π/2-2x)+4ksin(x-π/2)
由诱导公式可知,sin(π/2-2x)=cos(-2x)=cos(2x),4ksin(x-π/2)=4kcosx
所以原式可改写为h(x)=cos(2x)-4kcosx
由倍角公式知:cos(2x)= 2(cosx)^2-1
所以原式可改写为h(x)=2(cosx)^2-1-4kcosx
令 cosx为t,(-1《t《1)
h(t)=2t^2-4kt-1=2(t-k)^2-k^2-1
(1)当k〉1时,h(t)在-1《t《1上单调递减,h(t)最小=h(1)=k^2-5k+1=-3/2
由一元二次方程求根公式得:(k=5+根号15)比2
(2)当k〈-1时,h(t)在-1《t《1上单调递增,h(t)最小=h(-1)=k^2+4k+1=-3/2得:(-4-根号6)比2
(3)当-1《k《1时,h(t)最小=h(t)=-1-k^2=-3/2
解得k=2分之根号2 或 负2分之根号2
综上:k=(k=5+根号15)比2 (k〉1,t=1)
k=(-4-根号6)比2 (k〈-1,t=-1)
k=2分之根号2 或 负2分之根号2 (-1《k《1,k=t)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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