中心为(0,0),一个焦点为F(0,52)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆方程是( ) A.2x275+2y225=1 B.x275+y225=1 C.x225+y275
题目
中心为(0,0),一个焦点为F(0,5
)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为
,则该椭圆方程是( )
A.
+
=1
B.
+
=1
C.
+
=1
D.
+
=1
答案
设椭圆的标准方程为
+=1(a>b>0),
由F(0,5
),
∴c=5
,
∴a
2-b
2=50.
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a
2+9b
2)x
2-12b
2x+b
2(4-a
2)=0.
设弦的两个端点为A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
则由根与系数的关系得x
1+x
2=
,
又AB的中点的横坐标为
,
∴
=
,
∴a
2=3b
2,与方程a
2-b
2=50联立可解出a
2=75,b
2=25.
故椭圆的方程
+
=1.
故选C.
根据焦点坐标得出a2-b2=50,将直线的方程与椭圆的方程组成方程组,消去y得到关于x的方程,再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式,最后根据联立的方程求出其a,b即可求椭圆的方程.
椭圆的标准方程.
本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题,考查韦达定理的运用,属于中档题.
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